R. wurde als Sohn des Oberpostmeisters und Bankiers Simon R. im Hainer Hof geboren.
Schon früh durfte er den Vater auf Geschäftsreisen begleiten, und auf einer dieser Reisen bekam der naturwissenschaftlich interessierte Junge in Berchtesgaden eine erste Mineraliensammlung geschenkt. R. erhielt bis zu seinem 13. Lebensjahr Privatunterricht in Ffm., wechselte dann auf das Lyzeum in Darmstadt, wo er sich für Sprachen, Naturwissenschaften, Kunstgeschichte, Archäologie und Geografie begeisterte. Wegen einer Erkrankung des Vaters verließ er 1810 die Schule und trat ins väterliche Bankhaus R. & Harnier ein. Nach dem Tod der Eltern 1812 ging R. zur weiteren kaufmännischen Ausbildung nach Beaune/Burgund. 1814 betrieb er mineralogische Studien in Lausanne. Noch im selben Jahr nahm er eine gut dotierte Stelle in einem Handelshaus in London an, die er jedoch wegen einer schweren Lungentuberkulose 1816 aufgeben musste. Zunächst nach Ffm. zurückgekehrt, reiste er bald auf ärztlichen Rat nach Italien weiter. Bei einem dreimonatigen Aufenthalt in Mailand lernte er den Ffter Kaufmann Heinrich Mylius kennen. Im Januar 1817 unternahm R. – eigentlich aus gesundheitlichen Gründen – seine erste Reise nach Ägypten mit Aufenthalten in Alexandria, Kairo, Theben und Karnak. Durch die Bekanntschaft mit dem Schweizer Orientalisten Ludwig Burckhardt in Kairo wuchs in ihm sein alter Wunsch, Naturwissenschaften zu studieren und Forschungsreisender zu werden.
1818 kehrte R. nochmals nach Ffm. zurück, wo er den entscheidenden Kontakt zur gerade gegründeten SNG knüpfte. Spontan stellte er sein Leben, seine Forschungen und auch sein ererbtes Vermögen in den Dienst dieser Institution und ihrer Museumspläne, schenkte ihr sofort seine wertvolle Mineraliensammlung und sicherte ihr testamentarisch eine Zuwendung von 60.000 Gulden zu, woraufhin er am 13.7.1818 als Stiftendes Mitglied der SNG eingetragen wurde. Von 1818 bis 1821 Studium in Pavia (Mineralogie, Petrografie, Mathematik, Physik) und Genua (Astronomie, Geografie).
Von 1822 bis 1827 erste Forschungsreise für die SNG, zusammen mit dem Chirurgen und Präparator Michael Hey, und zwar nach Ägypten, von wo aus er u. a. die Sinai-Halbinsel, den Golf von Aqaba, Nubien (den heutigen Sudan) bis Kordofan und das Rote Meer bis Massaua bereiste. Auf der Rückreise geriet R. 1827 kurz in die Gefangenschaft griechischer Seeräuber. Nach seiner Ankunft in Ffm. im April 1828, wozu der Senat eigens eine (von Goethe mitgestaltete) Gedenkmünze mit R.s Porträt stiftete, widmete sich R. bis 1831 der Sichtung und Bearbeitung der unterwegs zusammengetragenen Naturalien, die den Grundstock des Senckenbergmuseums bildeten. Alle gesammelten Stücke überließ er großzügig der SNG als deren Eigentum, wofür diese nur den Schiffstransport zu bezahlen hatte. Die Reisekosten für R.s Begleiter (in Höhe von 2.480 Gulden) finanzierte der Bankier Simon Moritz von Bethmann, während die übrigen Kosten der Expedition von R. selbst getragen wurden. Von 1831 bis 1834 unternahm R. seine zweite Forschungsreise für die SNG, diesmal nach Abessinien (dem heutigen Äthiopien), in Begleitung von Theodor Erckel, dem späteren Konservator der SNG. Bei seiner Heimkehr nach Ffm. wurde R. zu Ehren am 5.10.1834 ein glanzvolles Fest im Gasthof „Weidenbusch“ mit 230 Vertretern „aus allen Classen der Bürgerschaft“ ausgerichtet.
Seit seiner Rückkehr arbeitete R. jahrzehntelang für die SNG an der Auswertung und Katalogisierung des reichhaltigen Materials, das er auf seinen Forschungsreisen zusammengetragen hatte. Ihm und seinen Sammlungen verdankte „das Senckenberg“ früh den internationalen Ruf als Naturmuseum und Forschungsmuseum. R. selbst verstand sich zwar hauptsächlich als „Zoolog und Mineralog“, doch arbeitete er als einer letzten Universalgelehrten auch erfolgreich auf zahlreichen anderen Wissenschaftsgebieten, wie z. B. der Geologie, der Geografie, der Paläontologie, der Archäologie, der Ethnografie und der Sprachwissenschaft. So profitierte nicht nur das Senckenbergmuseum von seiner Sammeltätigkeit. Die altägyptische Abteilung des Liebieghauses basiert auf archäologischen Funden, die R. aus dem Nilgebiet mitbrachte. Der Stadtbibliothek, die in der heutigen Universitätsbibliothek Johann Christian Senckenberg aufgegangen ist, schenkte er vier Papyrusfragmente, drei Totenpapyri und einen Ehevertrag, die er in Kairo erstanden hatte, sowie 23 äthiopische Handschriften (davon drei seit 1945 verschollen), die er auf seiner Äthiopienreise erworben hatte. Durch Buchankäufe ermöglichte er die Entstehung der Senckenbergischen Bibliothek. Wirklich systematisch betrieb R. jedoch die Tiersammlung, und zwar in der damals üblichen Weise, dass die Tiere getötet, ihre Bälge vor Ort präpariert und an das Senckenbergmuseum geschickt wurden. Dort staunten dann die Zeitgenossen über die ausgestopfte Fauna Afrikas, bis hin zum Nilpferd, was sie zuvor – vor Einführung von zoologischen Gärten – noch nie so naturgetreu gesehen hatten. Bis heute legendär ist etwa die Seekuh, die R. im Dezember 1831 auf einer Insel des Dahalak-Archipels im Roten Meer von Seeräubern erhielt und nach Ffm. sandte. Insgesamt beschrieb er als Zoologe 30 neue Tiergattungen und knapp 450 neue Arten.
Nicht immer verlief die Zusammenarbeit zwischen R. und der SNG reibungslos. Zum ersten Konflikt kam es, als er bei seiner Rückkehr aus Ägypten 1828 feststellen musste, dass Philipp Jakob Cretzschmar, der Gründer und 2. Direktor der SNG, einen Teil des aus Afrika übersandten Materials an Säugetieren und Vögeln bereits wissenschaftlich ausgewertet und die Ergebnisse unter eigenem Namen publiziert hatte. Letztlich führten die Auseinandersetzungen dazu, dass Cretzschmar ausscheiden musste und R. dessen Direktionsposten übernahm (11.5.1841). Er leitete die Sektion Säugetiere, Amphibien und Fische des Senckenbergmuseums. Als Vorgesetzter verlangte er von den anderen genauso viel wie von sich selbst. Doch nicht jeder der Sektionäre wollte wie er sommers um vier Uhr früh mit der Arbeit im Museum beginnen, und die Ordnung der wissenschaftlichen Sammlungen war ihm auch oft nicht rechtzumachen. Als persönliche Niederlage musste es der mittlerweile 55 Jahre alte Forscher empfinden, dass er eine erneut geplante große Afrikaexpedition nach einem neunmonatigen Aufenthalt in Ägypten 1849/50 abbrechen musste, weil er den Strapazen gesundheitlich nicht mehr gewachsen war. Zunehmend schien er sich zu seinem misanthropischen Sonderling zu entwickeln. Nach einem endgültigen Zerwürfnis mit der SNG 1858 gab R. seine Tätigkeit dort auf. Da er keinen Nachfolger im Senckenbergmuseum eingearbeitet hatte, verwaisten seine Sammlungen dort. Lange blieb deshalb deren wahrer Wert weitgehend unerkannt.
Im kommenden Vierteljahrhundert widmete sich R. intensiv der Numismatik. An der Stadtbibliothek ordnete und katalogisierte er die städtische Münzsammlung, deren Vorsteher er nebenberuflich bereits seit 1835 war. Insgesamt veröffentlichte er acht große numismatische Arbeiten, von denen die letzte in seinem 83. Lebenjahr erschien. Seine eigene, reichhaltige Münzsammlung stiftete er dem städtischen Münzkabinett (heute im HMF).
Wegen der Annexion Fft.s durch Preußen 1866 beantragte R. die Schweizer Bürgerschaft und siedelte im Mai 1867 nach Zürich über, kehrte aber schon im Oktober desselben Jahres wieder zurück. Nach einer letzten Reise nach Paris 1870 lebte R. zurückgezogen in Ffm. Im Sommer 1881 erlitt er in seiner Wohnung einen Oberschenkelhalsbruch, von dem er nicht recht genas – auch weil er die ärztliche Behandlung in einem Krankenhaus verweigerte. Obwohl er nicht mehr ohne fremde Hilfe gehen konnte, nahm er im Oktober 1882 noch einmal an einer Sitzung der SNG teil, und im März 1883 trat er auf dem 3. Deutschen Geographentag letztmals öffentlich in Erscheinung. Eigentlich verbrachte der Junggeselle seine letzten Lebensjahre jedoch in großer Einsamkeit, wenn er auch von einer Haushälterin betreut wurde. Allmählich – so sein Biograph Robert Mertens – zeigte er zudem „eine bedauerliche Trübung seines Denkvermögens“, offenbar Anzeichen einer beginnenden Demenz. An seinem 90. Geburtstag am 20. November 1884 empfing er noch Besuch von den Direktoren der SNG. Knapp drei Wochen später starb R. Die SNG setzte pflichtschuldigst eine Todesanzeige in die Zeitung. Doch nur wenige Vertreter städtischer Institutionen folgten seinem Sarg. Der einst so berühmte Afrikaforscher war fast vergessen.
R.s hervorragende Bedeutung liegt auf dem Gebiet der Naturwissenschaften, besonders der Zoologie, Mineralogie, Paläografie, Geografie und Archäologie. Aber auch als Historiker, Astronom und Numismatiker machte sich R. verdient.
Mitbegründer des Ffter Vereins für Geographie und Statistik (mit August Ravenstein, 1836). Zusammen mit den befreundeten Kaufleuten Heinrich Mylius und Marquard Georg Seufferheld beauftragte und stiftete R. ein von Pompeo Marchesi 1834-38 geschaffenes Goethedenkmal, wofür er selbst dem prominenten italienischen Bildhauer die Pläne geliefert haben soll; als Geschenk an die Stadt Ffm. wurde die überlebensgroße Marmorstatue 1840 in der Eingangshalle der Stadtbibliothek aufgestellt (kriegszerstört 1944).
Zahlreiche Abhandlungen und Fachveröffentlichungen, u. a. seine Hauptwerke „Atlas zu der Reise im nördlichen Afrika“ (1828-30) und „Neue Wirbelthiere zu der Fauna von Abessinien gehörig“ (1835-40).
1827 Ehrendoktor der Universität Gießen. Im Januar 1836 reiste Alexander von Humboldt eigens nach Ffm., um sich von R. dessen Vermessungsdaten aus Äthiopien zeigen zu lassen. 1839 Goldene Medaille der Königlichen Geographischen Gesellschaft in London (als erster Nichtengländer). Seit 1874 Ehrenvorsitzender des Ffter Vereins für Geographie und Statistik. Ehrenmitglied in zahlreichen Gesellschaften und Akademien im In- und Ausland. Die am 16.4.1870 errichtete Stiftung der SNG zur Förderung naturwissenschaftlicher Reisen wurde zu R.s Ehren „R.-Stiftung“ genannt.
Doppelporträt, zusammen mit Michael Hey (Ölgemälde von Adam Grünbaum), seit 1825 im Besitz der SNG. Porträtzeichnung (von Friedrich Heinrich von Kittlitz, 1831) im Besitz des HMF. Ölporträt (von Karl Georg Hom, 1865/66) im Besitz des Städel (Kopie von Hermann Kruse, um 1907, im Besitz der Dr. Senckenbergischen Stiftung). Marmorbüste (von Pompeo Marchesi, 1839), seit 1852 als Geschenk von Heinrich Mylius im Besitz der SNG, früher (seit 1867) im Senckenbergmuseum, jetzt (seit 2012) als Dauerleihgabe im HMF. Marmorbüste (von Friedrich Schierholz, 1867) im Städel. Standbild (von Gustav Herold, 1893; kriegszerstört 1944) an der Ostseite auf dem angebauten Magazinflügel der alten Stadtbibliothek am Obermaintor.
Ehrengrab mit einem von der SNG 1886 gesetzten Obelisken als Gedenkstein auf dem Ffter Hauptfriedhof (Gewann F 155a).
Schriftlicher Nachlass in der Handschriftenabteilung der UB Ffm.
Anlässlich von R.s 100. Geburtstag 1894 ließ der Ffter Verein für Geographie und Statistik eine Gedenkmedaille prägen, die zur Auszeichnung verdienter Geografen und Forschungsreisender dienen sollte. Sammlerraum für Eduard R. in der 2012 eröffneten Dauerausstellung „Ffter Sammler und Stifter“ des HMF. Dort sind u. a. bedeutende Stücke aus R.s (der Stadt gestifteter) Münzsammlung zu sehen.
Eduard-R.-Straße am Dornbusch. Fünf Tiergattungen sowie 79 Tier- und Pflanzenarten sind nach R. benannt.