Sohn des Großkaufmanns Pietro Antonio, gen. Peter Anton, B. und dessen zweiter Ehefrau Maximiliane Euphrosine, geb. La Roche. Enkel des Diplomaten und kurtrierischen Kanzlers Georg Michael Fran(c)k (von) La Roche (1720-1788) und dessen Ehefrau, der Schriftstellerin Marie Sophie (von) La Roche, geb. Gutermann von Gutershofen. Halbbruder von Francesco, gen. Franz, B. Bruder von Georg B., Sophie B., Clemens B., Kunigunde, gen. Gunda, B. (später verh. von Savigny, 1780-1863), Elisabetha, gen. Bettine, B. (später verh. von Arnim), Ludovica, gen. Lulu, B. (später verh. Jordis, dann verh. des Bordes) und Magdalena, gen. Meline, B. (später verh. von Guaita, 1788-1861). Vier weitere Halbgeschwister aus der ersten Ehe, ein Halbbruder aus der dritten Ehe des Vaters. Weitere vier Geschwister und zwei Halbgeschwister starben im Säuglings- oder Kleinkindalter.
Aufgewachsen in Ffm. Von 1791 bis 1793 Besuch des Gymnasiums in Tauberbischofsheim. Gescheiterte Lehrzeit als Kaufmann in Hamburg. Von 1803 bis 1808 Medizinstudium in Marburg und Jena. Von 1808 bis 1815 Verwaltung der Familiengüter in Bukowan/Böhmen. Von 1815 bis 1823 Aufenthalt in Ffm. Hinwendung zur Philosophie. B. spielte in der Bewegung des neuromantischen Katholizismus der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts eine gewisse Rolle. Unterstützte in Rom Künstler und Theologen. Befreundet mit den Brüdern Grimm.
B. und seine Ehefrau Emilie, geb. Reichelsheim, in erster Ehe verh. Genger (1810-1881), lebten seit 1837 in Aschaffenburg, wo Clemens B. 1842 in ihrem Haus starb. B. und (nach dessen Tod 1851) seine Frau Emilie B. gaben erstmals die gesammelten Werke von Clemens B. heraus. Dessen literarisches Erbe ging dann an Christians Sohn Lujo B.
Drei Bildnisse (von Ludwig Emil Grimm, alle 1817) im HMF.
Aus der Ehe von Christian und Emilie B. stammten acht Kinder, u. a. die Söhne Franz Clemens Honoratus Hermann Josef B. (1838-1917), führender Philosoph des Katholizismus in Deutschland, später Professor für Philosophie in Wien, und Ludwig Josef, gen. Lujo, B. (1844-1931), Dr. phil., Nationalökonom, Führer der „Kathedersozialisten“, Mitgründer des Vereins für Sozialpolitik.