Sohn von Philipp Erwein von Sch. (1607-1668) und dessen Ehefrau Maria Ursula, geb. von Greiffenclau zu Vollraths (1612-1682). Neffe des Mainzer Kurfürsten Johann Philipp von Sch. (1605-1673). Bruder des Ffter Propsts Franz Georg von Sch. und des Mainzer Kurfürsten Lothar Franz von Sch. (1655-1729).
Über Sch.s Bildungsgang ist nichts bekannt. Zunächst kurmainzischer Gesandter an etlichen europäischen Residenzen und Kongressen. Von 1672 bis 1700 Statthalter (Vizedominus) des Kurfürsten von Mainz in Aschaffenburg, wo er den Schönborner Hof (1673-81) erbauen ließ. 1697 Mainzer Bevollmächtigter beim Frieden von Rijswijk zum Abschluss des Pfälzischen Erbfolgekriegs. 1701 Erhebung zum Reichsgrafen. Sch. erwarb 1710 die Herrschaft Buchheim in Niederösterreich, womit er die Linie Sch.-Buchheim begründete, und erteilte dem bedeutenden Barockbaumeister Johann Lucas von Hildebrandt (1668-1745) den Auftrag zum Umbau von Schloss Schönborn in Göllersdorf/Niederösterreich (1712-17).
Als Kaiser Karl VI. 1712 zur Beilegung des Verfassungsstreits in Ffm. zwei kaiserliche Kommissionen einsetzte, wurde Melchior Friedrich von Sch., zusammen mit Hofkammerrat Johann Adam von Nentwig, mit der Überprüfung der reichsstädtischen Finanzen beauftragt. Nach Aufnahme seiner Arbeit in Ffm. 1713 wohnte Sch. bis zu seinem Tod im Schönborner Hof in der Töngesgasse. Als kaiserlicher Kommissar im Verfassungsstreit wandte er sich gegen die Misswirtschaft des Rats und förderte dadurch die Mitbestimmungsansprüche der Bürgerschaft.
„Aufrichtig betrauert von der gesamten Bürgerschaft, die in ihm den Retter aus der Not erblickte und sein gerechtes und leutseliges Wesen sehr zu schätzen gelernt hatte“ (Hohenemser: Der Ffter Verfassungsstreit, S. 243), wurde Sch. in der Familiengrabstätte in der Pfarrkirche St. Cäcilia in Heusenstamm beigesetzt.
Seiner Ehe mit Maria Anna Sophia Johanna von Sch., geb. von Boineburg und Lengsfeld (1652-1726), entsprossen 18 Kinder, von denen vier (u. a. Johann Philipp Franz von Sch.) deutsche Fürstbischöfe wurden. Ein Sohn, Rudolf Franz Erwein Graf von Sch., wirkte ebenfalls als kaiserlicher Kommissar in Ffm., wo er nach dem Tod des Vaters auch dessen Aufgaben übernahm.