Tochter des Bankiers Johann Jacob Bethmann-Hollweg und dessen Ehefrau Susanna Elisabeth, geb. Bethmann. Verheiratet (seit 1800) mit dem Bankier Joachim Andreas G., der bald nach der Heirat (1801) als Teilhaber in das Bankhaus Gebr. Bethmann eintrat und sich später (1824) mit einem eigenen Bankgeschäft unter der Firma Grunelius & Co. selbstständig machte.
Bereits Susanna Elisabeth Bethmann-Hollweg, die Mutter von Anna Elisabeth G., engagierte sich für die Verbesserung der sozialen Verhältnisse in den Ffter Landgemeinden, insbesondere in Oberrad, wo die Familie Bethmann-Hollweg im Alten Schwanen ihren Sommersitz hatte. Auf diesem Anwesen hatte Susanna Elisabeth Bethmann-Hollweg 1828 die erste Kleinkinderschule in Oberrad eingerichtet. Als die Gründerin 1831 starb, übernahm an deren Stelle Anna G. als ältere Tochter die Förderung dieser Schule und sicherte deren Fortbestand, nun in einem eigenen Gebäude im Hansenweg 19, finanziell ab. Von 1838 bis 1844 arbeitete G. mit der Zuständigkeit für das „Dörferfach“ im Vorstand des Ffter Frauenvereins mit. 1845 gründete sie eine Stiftung zur Aufnahme von Waisenkindern aus den Landgemeinden in das Ffter Waisenhaus (G.’sche Stiftung).
Beigesetzt in der Familiengrabstätte auf dem Ffter Hauptfriedhof (Gewann B 49-50).
Von den fünf Kindern des Ehepaars Andreas und Anna G. führten die beiden Söhne Moritz Eduard G. (1803-1846) und Peter Carl G. (1807-1867) das Bankhaus Grunelius & Co. weiter. Peter Carl G. war in zweiter Ehe 1834 in Oberrad getraut worden mit Catharina Elisabeth Saint-George, seiner Cousine, die das soziale Engagement ihrer Groß- und ihrer Schwiegermutter für die Kleinkinderschule fortsetzte.