Sohn von Theodor C. und dessen Ehefrau Louise, modo (1855): Amalie, geb. Flersheim (1824-1907), einer Tochter des Bankiers Moritz Flersheim und dessen Ehefrau Jetta, geb. Oppenheim. Enkel von Michael C. Neffe von Ignaz C.
1875 Promotion in Halle mit der Arbeit „Judas Ischarioth in Legende und Sage des Mittelalters“. 1879 Habilitation in Leipzig mit Untersuchungen „Zur Entstehungsgeschichte des neuen deutschen Lustspiels“. Von 1883 bis 1912 Professor für deutsche Literatur in Krakau. 1912 Übersiedlung nach Dresden, um sich ganz seinem Hauptwerk „Geschichte des neueren Dramas“ (5 Bde., 1893-1916) widmen zu können, das dennoch unvollendet bleiben sollte.
Neben weiteren Veröffentlichungen zur Theatergeschichte publizierte C. Forschungsarbeiten zu Goethe und den Fassungen des Schauspiels von „Dr. Faust“.