Sohn von Erasmus Carl Sch. und dessen Ehefrau Susanna Maria, geb. Orth (1703-1789). Bruder von Johann Georg Sch. Vater von Johann Friedrich Heinrich, gen. Fritz, und Christian Friedrich Sch. (1782-1829).
Seit 1757 Advokat in Ffm. Goethes Eltern hielten ihrem Sohn Sch. und dessen jüngeren Bruder Johann Georg als Vorbilder in Studium und Karriereaussichten vor. Als Goethe, der Sch. als „einen gründlichen und eleganten Rechtsgelehrten” schätzte, sich 1771 als Advokat in Ffm. niederließ, freundeten sich Sch. und sein Bruder mit ihm an und standen ihrem jungen Kollegen mit Rat und Hilfe zur Seite. Sch., der ein geistreicher Gelegenheitsdichter in lateinischer Sprache („Poemata”, 1775) war, schickte auch Goethe einmal lateinische Verse als Dank für ein Bild, möglicherweise ein von Goethe gezeichnetes Porträt Sch.s (vor 1775; in der Goethe-Sammlung von Johann Friedrich Heinrich, gen. Fritz, Sch.). Goethe antwortete ihm mit den Versen „Du dem die Musen von den Akten Stöcken...” („An Sch., als dieser in lateinischen Versen dem Dichter für ein Gemälde gedankt hatte”, 1774, erstmals veröffentlicht in Sch.s „Poemata” 1775; Originalhandschrift in der Goethe-Sammlung von Johann Friedrich Heinrich, gen. Fritz, Sch.). Sch.s ausgezeichnete Francofurtensiensammlung konnte Goethe später als Quelle für „Dichtung und Wahrheit” nutzen. Bei seinem Fft.-Aufenthalt 1814 wohnte Goethe im Hause von Sch.s Witwe Margaretha Rebecca Elisabeth, geb. Steitz (1749-1819).
Seit 1777 Ratsherr. 1786 und 1789 Jüngerer Bürgermeister. Seit 1792 Schöffe.
Als im Zuge der Besetzung Fft.s durch französische Revolutionstruppen die Leonhardskirche als Vorratsmagazin genutzt wurde und die um 1430 für die Kirche gefertigten Glasmalereien veräußert wurden, erwarb Sch. für seine umfangreichen Sammlungen 1792 fünf Scheiben aus den Fensterzyklen. Nach Sch.s Tod gelangten die fünf Kirchenfenster in den Besitz seines Sohnes Fritz Sch., der sie in dem von ihm 1825 als Sommersitz erworbenen Stift Neuburg in Heidelberg einbauen ließ. Aus dem Besitz des Stifts, das seit 1926 der Erzabtei Beuron gehört, wurden die Scheiben durch die Stadt Ffm., das Bistum Limburg und die Cronstett- und Hynspergische evangelische Stiftung 2016 zurückgekauft. Die fünf historischen Fenster („Verkündigung an Anna“, „Geburtshilfe des hl. Leonhard“, „Besuch der hl. Katharina beim Eremiten“, „Ehem. Standfigur der hl. Barbara“ und „Hl. Hieronymus mit dem Wappen der Ffter Patrizierfamilie Schwarzenberg“), ergänzt um ein weiteres aus dem Historischen Museum und eines aus dem Besitz des Bistums Limburg, sollten in der Leonhardskirche zum Abschluss der denkmalgerechten Sanierung (bis 2019) wieder eingesetzt werden.