Sohn des Kunstgärtners Jacob Philipp Maria S. (1781-1866) und dessen Ehefrau Maria Anna Johanna Friderika Antonia Walburga, geb. Pletz (1785-1850).
Aufgewachsen in Mosbach bei Wiesbaden, Offenbach und Groß-Karben. Erste Ausbildung durch den Vater. Seit 1.4.1832 Lehre bei Sebastian & Jacob Rinz in Ffm., die wegen guter Leistungen bereits nach anderthalb Jahren endete. Von 1834 bis 1840 Gärtner bei S. & J. Rinz. Aufgabenbereiche: Leitung der Baumschule, Leitung der Ausführung von Parkanlagen. Als Geselle bei Rinz u. a. an der Umgestaltung des Günthersburgparks für Carl Mayer von Rothschild beteiligt (1837-39). 1840 gründete S. in Bockenheim bei Ffm., wohin seine Eltern inzwischen (1836) übergesiedelt waren, eine eigene kleine Gärtnerei. Nach Eintritt des Vaters und des Bruders Nicolaus (1815-1898) im Jahr 1842 wurde die Firma unter dem Namen „Gebrüder S.” geführt. Es wurden vier Geschäftszweige betrieben: Anzucht von Pflanzen, insbesondere Bäumen, und deren Verkauf; Entwurf und Anlage von Parks und Gärten; Unterhaltung von Parks und Gärten; Anfertigung von Gartenausstattungen aus rohem Eichenholz, insbesondere Pavillons, auch Pergolen, Zäunen und Schattiermatten.
Rasch erlangte S. einen bedeutenden Ruf als Gartenkünstler. Nach eigenen Angaben schuf er etwa 1.000 Arbeiten in ganz Deutschland und im nahen Ausland, wozu er größere und kleinere Grünanlagen, aber auch Wintergärten, Grotten, Pavillons, Wege, Brücken, Wasseranlagen u. ä. zählte. Namentlich bekannt sind 180 Parkanlagen. Die verstreuten Baumschulflächen in Bockenheim wurden ab 1877 in einer großen Baumschule (mit einer Ausdehnung von ca. 15 Hektar) in Bad Vilbel gebündelt, dem (nach S.s verstorbener Frau benannten) „Elisabethenhain“, der 1887 eröffnet wurde.
In Ffm. erwarb sich S. besondere Verdienste als Initiator und Gestalter des Palmengartens. Als Herzog Adolf von Nassau nach der Annexion durch Preußen 1866 seinen Sommersitz in Biebrich aufgab, veräußerte er seine erlesene Sammlung von ca. 20.000 exotischen Pflanzen aus den in ganz Europa bekannten „Biebricher Wintergärten“. S. wurde mit dem Verkauf beauftragt. Sofort entwickelte er den Plan, die Sammlung für Ffm. zu erwerben und dort einen öffentlichen Park mit Palmen- und Gesellschaftshaus anzulegen. Unterstützung erhielt er von dem soeben gegründeten „Verein zur Förderung des öffentlichen Verkehrslebens“. 1868 wurde ein provisorisches Komitee aus 14 Mitgliedern gebildet, um den Ankauf zu bewerkstelligen. Diesem Komitee gehörten neben S. u. a. Leopold Sonnemann, Ludwig von Erlanger und Ferdinand Heiss an. Es wurden eine Aktiengesellschaft gegründet und Aktien zu 250 Gulden angeboten. Nachdem innerhalb von nur drei Monaten zahlreiche Mitglieder des Ffter Bürgertums Aktien erworben hatten, konnte im August 1868 der Kaufvertrag abgeschlossen werden. Für die Vermittlung der Biebricher Sammlung an Ffm. erhielt S. eine Gratifikation von 6.000 Gulden. In drei großen Etappen bis 1887 entstand der Palmengarten nach den von S. unentgeltlich angefertigten Entwürfen. Er gestaltete die Anlage im „Gemischten Stil“, d. h. als landschaftliche Parkanlage mit größeren regelmäßigen Partien. Hierzu zählte insbesondere das „Blumen-Parterre“ (Siesmayer) als eine attraktive und vielbeachtete Zusammenstellung von Blumenrabatten, Teppich- und Blattpflanzenbeeten vor dem Gesellschaftshaus. 1871, nachdem bereits das Gesellschaftshaus, das Palmenhaus und die großen Terrassen vollendet waren, wurde der Palmengarten eröffnet. Den Ffter Bürgern galt die aus eigenen Mitteln finanzierte prachtvolle Anlage als Ausdruck ihrer Selbstbehauptung, nachdem die Stadt von Preußen annektiert worden war. Bis 1886 wurde der Palmengarten von einer Doppelspitze, bestehend aus Heinrich S. als ehrenamtlichem Garten-Direktor und Ferdinand Heiss als angestelltem Betriebsleiter („Garten-Inspektor“), geleitet. Durch seine jahrelange ehrenamtliche Tätigkeit hat S. entscheidend zum Entstehen des Palmengartens beigetragen und damit größten Bürgersinn bewiesen.
Von 1868 bis 1872 Stadtrat in Bockenheim.
1848 Mitbegründer der Ffter Gartenbaugesellschaft Flora. Seit 1860 Mitglied im Vorstand der katholischen Kirche und Schule in Bockenheim.
Weitere Garten- und Parkanlagen von S. in Ffm.: Park zum Hofgut Goldstein (Goldsteinpark, 1845-46), Kurfürstenplatz (bis 1895: Marktplatz; 1868) und Friedhof (1878) in Bockenheim, Erweiterungen des Grüneburgparks (ab 1878) u. a. Außerdem gestaltete S. verschiedene Mustergärten bei der Allgemeinen Deutschen Patent- und Musterschutz-Ausstellung 1881, die auf dem Gelände nördlich des Palmengartens (dem späteren „Neugarten“ des Palmengartens) stattfand, sowie zahlreiche Privatgärten von Ffter Bürgern.
Gärten und Parks von S. in der Rhein-Main-Region und Hessen: Parks von sieben Villen in Eltville (in den 1840er bis 1870er Jahren), Schlosspark Sayn bei Koblenz (nach einem Entwurf von Gartendirektor Carl Friedrich Thelemann, 1848-51), Kurpark in Bad Nauheim (1857-59), Stadtpark („Neue Anlage“) in Mainz (1862/88), Neugestaltung des Bowling Greens in Wiesbaden (1874) im Zuge der Unterhaltung der Wiesbadener Kuranlagen (1869-75, 1880-1906), Dietel’scher Park in Oberliederbach am Taunus (um 1870), Parkanlage der Kur- und Heilanstalt Falkenstein/Taunus (1873-74; seit 1999 Kempinski Hotel Falkenstein), Park Rauischholzhausen bei Marburg (1873-76), Park des Tulpenhofs in Offenbach (1875-76; überbaut), Parks der Villen Andreae und Marienhöhe in Königstein (in den 1880er Jahren) u. a.
Mitherausgeber des „Jahrbuchs für Gartenkunde und Botanik“ (1883-90).
„Lebenserinnerungen“ (1889; Neuausgabe 2007).
1871 Ehrenbürger von Bad Nauheim. 1873 Großherzoglich Hessischer Verdienstorden (Ritterkreuz I. Klasse).
Porträtbüste im Palmenhaus des Palmengartens. Ölporträts von Heinrich und seiner Frau Elise S. (von unbekannter Hand) im Besitz des Palmengartens. Gedenkstein (1908) mit bronzenem Porträtkopf (von Gerhard Burk, 2000) im Kurpark Bad Nauheim.
Grabstätte mit Porträtbüste auf dem Bockenheimer Friedhof (Gewann 5, Reihe 17, Nr. 9 und 10).
S., seit 1855 verheiratet mit Anna Elisabeth, gen. Elise, geb. Klees (1838-1872), einer Gastwirtstochter aus Offenbach, war Vater von zwölf Kindern, von denen sechs Töchter und drei Söhne das Erwachsenenalter erreichten. Die Söhne erlernten ebenfalls den Beruf des Gartenarchitekten und traten in die väterliche Firma ein. 1890 übergab S. die Leitung des Gartenbauunternehmens, das zeitweise über 400 Menschen beschäftigte, seinem Sohn Philipp (1862-1935). Die Firma blieb bis 1932 bestehen.
S.straße am Palmengarten im Westend. S.saal im an dieser Straße gelegenen Eingangsschauhaus des Palmengartens. Seit 1996 ist eine Rose nach Heinrich S. benannt.
Gedenkstein (1999) im Goldsteinpark.