Sohn des Ffter Metallhändlers und Stadtverordneten Philipp E. (1818-1875) und dessen Ehefrau Matel Mathilde E., geb. Ruben (1829-1901). Alexander E. hatte acht ältere Geschwister, darunter Leo E. (1852-1916), Mitbegründer der Ffter Metallgesellschaft und einflussreicher Mäzen. Verheiratet (seit 1899) mit Rosa E., geb. Simon (1878-1934), einer Nichte des Königsberger Pharmakologen Max Jaffé (1841-1911), der E.s Mentor war. Vier Kinder: Friedrich Philipp, gen. Fritz, E. (1900-1962), Mathilde E. (später verh. Aron, 1902-?), Heinrich Adolf E. (1904-1969) und Elisabeth, gen. Lisa, E. (1907-1989). Sohn Fritz E. war ebenfalls Arzt und forschte auf dem Gebiet der Radiologie (ab 1938 in den USA). Der Pharmakologe Philipp E. (1887-1952) war ein Neffe von Alexander E.
E. besuchte 1877/78 die Wöhlerschule und von 1878 bis 1887 das städtische Gymnasium in Ffm. Nachdem er im Herbst 1887 die Reifeprüfung abgelegt hatte, studierte er ab dem Wintersemester 1887/88 Naturwissenschaften (Schwerpunkt: Chemie) an der Friedrich-Wilhelms-Universität in Berlin, wo August Wilhelm von Hofmann (1818-1892) zu seinen wichtigsten Lehrern zählte. Von 1889 bis 1890 setzte er sein Studium in Bonn fort, ehe er nach Berlin zurückkehrte und 1892 bei Willy Marckwald (1864-1942) mit einer Arbeit „Über einige Condensationsproducte aus Amidoacetal. Ein Beitrag zur Kenntnis des Glyoxalins und der Aldine“ zum Dr. phil. promovierte. Nach einjähriger Militärdienstzeit begann er zum Wintersemester 1893/94 an der Universität München mit dem Medizinstudium. 1895 wechselte er nach Straßburg und forschte in den von Oswald Schmiedeberg (1838-1921) und Franz Hofmeister (1850-1922) geleiteten Laboratorien.
Nachdem E. im Sommer 1897 die ärztliche Hauptprüfung bestanden hatte, ging er im Herbst des Jahres nach Königsberg und wurde Assistent von Max Jaffé (1841-1911), dem Leiter des zum Pathologischen Institut gehörenden Universitätslabors für medizinische Chemie und experimentelle Pharmakologie. Hier promovierte er im März 1898 mit einer Arbeit über „Das Vorkommen des Bence-Jones’schen Körpers im Harn bei Tumoren des Knochenmarks und seine diagnostische Bedeutung“ zum Dr. med. Nur ein Jahr später folgte die Habilitation. 1907 erhielt E. das Prädikat „Professor“. Nach dem Tod Jaffés im Oktober 1911 wurde er dessen Nachfolger und Leiter des inzwischen eigenständigen Universitätsinstituts für medizinische Chemie und experimentelle Pharmakologie.
Im Frühjahr 1914 wurde E. nach Ffm. berufen, um an der in Gründung befindlichen Universität die Direktorenstelle des Pharmakologischen Instituts und das Ordinariat für Pharmakologie zu übernehmen. Er sagte zu und begann, seinen Umzug von Königsberg nach Ffm. zu planen, als der Erste Weltkrieg ausbrach. Als Oberarzt der Reserve war er für kurze Zeit in einem Reservelazarett in Ingolstadt tätig. Im Oktober 1914 wurde er durch das preußische Kultusministerium von dort abberufen und nach Ffm. versetzt, wo er zum ersten Dekan der neugegründeten Medizinischen Fakultät ernannt wurde. Aus Königsberg hatte er den ebenfalls aus Ffm. stammenden Pharmakologen Otto Riesser als seinen ersten Assistenten mitgebracht, der jedoch während der Kriegsjahre meist zum Heeresdienst abgestellt war. Im weiteren Verlauf des Krieges war E. zudem als Stabsarzt 1916 zu kürzeren Einsätzen in Flandern, Russland und Galizien sowie bis Frühjahr 1918 zum Dienst in verschiedenen Reservelazaretten in Ffm. verpflichtet. E.s Forschungen betrafen zunächst kriegswichtige Themen wie die Toxikologie und die Therapie der Ruhr; im Auftrag des preußischen Kriegsministeriums forschte er zur Therapie der Kampfgasvergiftungen. 1917 wurde er zum Geheimen Medizinalrat ernannt.
E.s Pharmakologisches Institut war gemeinsam mit dem von Albrecht Bethe geleiteten Institut für animalische Physiologie und dem von Gustav Embden geleiteten Institut für vegetative Physiologie im 1914/15 errichteten Theodor-Stern-Haus auf dem Gelände des Städtischen Krankenhauses in Sachsenhausen untergebracht. E. und seine Familie wohnten nicht weit entfernt in einer Villa in der Forsthausstraße (heute: Kennedyallee) 105a.
Vom 18. bis 25.9.1920 fand in Bad Nauheim die 86. Versammlung Deutscher Naturforscher und Ärzte statt. Im Rahmen des Kongresses, an dem 2.600 Wissenschaftler, darunter 17 (spätere) Nobelpreisträger, teilnahmen, wurde am 24.9.1920 die Deutsche Pharmakologische Gesellschaft gegründet. E. gehörte zu den Gründungs- und ersten Vorstandsmitgliedern dieser Fachgesellschaft, die noch heute als Deutsche Gesellschaft für experimentelle und klinische Pharmakologie und Toxikologie existiert.
In den letzten Monaten vor seinem Tod war E. intensiv an den Planungen für ein umfangreiches „Handbuch der normalen und pathologischen Physiologie“ beteiligt, das er gemeinsam mit seinen (ehemaligen) Ffter Kollegen Albrecht Bethe, Gustav von Bergmann (1878-1955) und Gustav Embden herausgeben wollte. Obgleich er die Veröffentlichung des Werks, das von 1925 bis 1932 in 18 Bänden erschien, nicht mehr erlebte, ist es bis heute auch mit seinem Namen als Mitherausgeber verbunden.
E. starb nach langer Krankheit im Alter von 53 Jahren und wurde am 30.7.1923 auf dem Jüdischen Friedhof Rat-Beil-Straße beigesetzt. Gustav Embden schrieb in einem Nachruf: „Dem wissenschaftlichen Wesen E.s entsprach sein persönlicher Charakter. Klar, geradlinig, von unbedingter Zuverlässigkeit, dabei aber von innerer Wärme und persönlichster Anteilnahme auch für ihm Fernerstehende erfüllt. Nicht nur wissenschaftliche Anregung, sondern auch warmes menschliches Verständnis brachte er allen denen entgegen, die unter ihm und neben ihm in den biologischen Instituten des Theodor-Stern-Hauses arbeiteten.“ [Gustav Embden: Alexander Ellinger †. In: Deutsche Medizinische Wochenschrift 49 (1923), H. 46, S. 1451.]
E.s Nachfolger als Direktor des Pharmakologischen Instituts wurde sein Schüler Werner Lipschitz (1892-1948), der ebenfalls Jude war, nach der Machtübernahme der Nationalsozialisten 1933 entlassen wurde und in die Emigration ging.
Medizinische Veröffentlichungen (in Auswahl): „Der Antagonismus gerinnungsbefördernder und gerinnungshemmender Stoffe im Blute und die sogenannte Pepton-Immunität“ (Aufsatz zusammen mit Karl Spiro, 1897), „Die Bildung der Lymphe“ (Aufsatz, 1902), „Die Entstehung der Kynurensäure“ (Aufsatz, 1905), „Die Chemie der Eiweissfäulnis“ (Aufsatz, 1907), „Zur Kenntnis des im Harn nach Trionalvergiftung auftretenden Porphyrins“ (Aufsatz zusammen mit Otto Riesser, 1916), „Die Angriffspunkte der Diuretica“ (Aufsatz, 1922).