Von 1910 bis 1918 Schüler der Schillerschule in Fechenheim. Seit 1918 Bediensteter der Allgemeinen Ortskrankenkasse (AOK) in Ffm. Seit 1918 Gewerkschafter und Mitglied der Arbeiterjugend. Seit 1921 Mitglied der SPD. Dozent an der Akademie der Arbeit. Von 1928 bis 1933 Vorsitzender der „Kinderfreunde“ (Falkenbewegung) in Hessen-Nassau und Mitglied des Reichsausschusses für sozialpolitische Erziehungsarbeit. 1933 als „politisch unzuverlässig“ aus dem Dienst bei der AOK entlassen. In der NS-Zeit unterstützte K. Juden und Verfolgte und verhalf ihnen zur Flucht. Berufsfremde Arbeit, Kriegsdienst und -gefangenschaft. 1945 als Verwaltungsdirektor bei der AOK in Friedberg wiedereingestellt. Von 1946 bis 1947 Verwaltungsdirektor, von 1947 bis 1952 Leiter der AOK in Ffm. Von 1952 bis 1953 kommissarischer Leiter, von 1953 bis zur Pensionierung 1964 Geschäftsführender Direktor (Präsident) der Landesversicherungsanstalt in Hessen mit Sitz in Ffm.
K. engagierte sich insbesondere für die vorbeugende Gesundheitspflege, die Errichtung von Erholungsheimen und Heilstätten, die Förderung des sozialen Wohnungsbaus (Mitglied im Aufsichtsrat der Nassauischen Heimstätte und deren Tochter „Nassauisches Heim Siedlungsbaugesellschaft mbH“) sowie die Erforschung und Bekämpfung von Rheumatismus, Tuberkulose (Vorsitzender des Landesverbands Hessen zur Bekämpfung der Tuberkulose) und Krebskrankheiten (Vorstandsmitglied des Landesverbands Hessen zur Erforschung und Bekämpfung von Krebskankheiten). Vor allem setzte er sich auch für die Verbesserung der Kindererholung und der Fürsorge für Ffter Heimkinder ein. Präsident der Verbandsversammlung des Landeswohlfahrtsverbands Hessen in Kassel. Vizepräsident des Hessischen Landesgesundheitsrats in Wiesbaden. Vorstandsmitglied des Ffter Hauspflegevereins.
Seit 1948 Mitglied der Stadtverordnetenversammlung (SPD), von 1953 bis 1960 als Vorsitzender der SPD-Fraktion und seit 1960 als Stadtverordnetenvorsteher. Vorsitzender des Ältestenausschusses. Mitglied im Magistratswahlausschuss und im Ausschuss für Stadt- und Regionalplanung. Initiator und Vorsitzender der Arbeitsgemeinschaft der Stadtverordnetenversammlungen der kreisfreien Städte Hessens. Mitglied in der Verbandsversammlung der Regionalen Planungsgemeinschaft Untermain mit Sitz in Ffm. Vorstandsmitglied des Hessischen Städtetags und des Hessischen Städteverbands mit Sitz in Ffm. Mitglied im Hauptausschuss des Rats der Gemeinden Europas.
Mitglied in zahlreichen Aufsichtsräten, u. a. der Ffter Handelsbank, der Ffter Flughafen AG und der Messe- und Ausstellungs-Gesellschaft. Stellvertretender Vorsteher des Verwaltungsrats der Ffter Stadtsparkasse. Vorstandsmitglied der Walter-Kolb-Stiftung und des Instituts für Sozialforschung. Vorsitzender des Beirats des Ffter Jugendsymphonieorchesters.
Zahlreiche Auszeichnungen, u. a. Ehrenplakette der Stadt Ffm. (1958), Freiherr-vom-Stein-Plakette des Landes Hessen (1964), Römerplakette in Gold (1968) und Wilhelm-Leuschner-Medaille des Landes Hessen (1968).
Bis 2018 Heinrich-K.-Schule, eine Gesamtschule (aufgrund der Umbenennung aus konzeptionellen Gründen jetzt: Schule am Mainbogen), in Fechenheim. Heinrich-K.-Park, ein Waldspielplatz, an der Mainkur in Fechenheim. Die Heinrich-K.-Stiftung für Ffter Heim- und Pflegekinder wurde nach dem Tod K.s 1971 zunächst als Verein von der Stadt Ffm. und der Familie K.s gegründet, um das soziale Engagement des Namensgebers für benachteiligte Ffter Kinder und Jugendliche weiterzuführen; unter Fortbestand des Vereins als Förderverein wurde die Heinrich-K.-Stiftung 2009 zur Sicherung des Vereinsvermögens und einer kontinuierlichen Fördertätigkeit in eine selbstständige Stiftung überführt, die sich im November 2010 ins Goldene Buch der Stiftungen der Stadt Ffm. eingetragen hat.