Sohn des aus Wetzlar stammenden Ffter Bankiers und Handelsmanns Moritz Moses B. (1802-1872).
Wahrscheinlich Schüler des Philanthropins. Eintritt in das Geschäft seines Vaters. Dort war B. als Prokurist tätig, bis er 1866 nach Amerika auswanderte. Gründete 1867 zusammen mit Jakob H. Schiff und Leo Lehmann, die ebenfalls aus Ffm. stammten, das Bankhaus Budge, Schiff & Co. in New York, das nur bis 1872 bestand. B. kehrte anlässlich des Todes seines Vaters nach Ffm. zurück, ging aber 1875 nach wirtschaftlichen Studien in Europa erneut nach New York. Wurde dort Teilhaber des Bankhauses L. Hallgarten & Co. und beteiligte sich an Eisenbahnfinanzierungen. Als Multimillionär setzte sich B. 1903 zur Ruhe. Er ließ sich in Hamburg nieder, woher seine Frau Emma Ranette, geb. Lazarus (1852-1937), stammte.
B. stiftete 1912/13 größere Summen zur Gründung der Ffter Universität und wurde nach weiteren großzügigen Zuwendungen 1923 in den Großen Rat der Universität gewählt. 1920 errichtete B. mit einer Million Reichsmark die Henry und Emma B.-Stiftung in Ffm., die der Unterstützung fürsorge- und erholungsbedürftiger Menschen dienen sollte. Trotz Verlusten der Inflationszeit konnte die Stiftung mit Hilfe weiterer Spenden B.s bis zu dessen Tod wieder auf 250.000 Reichsmark aufgestockt werden.
1924 Ehrenplakette der Stadt Ffm. 1926 Brückenmedaille der Stadt Ffm.
Nach B.s Tod ließ seine Witwe Emma B. der Stiftung weitere Spenden zukommen. Mit den Mitteln der Stiftung wurde 1929/30 das Henry und Emma B.-Heim erbaut (Architekten: Mart Stam und Werner Moser unter Mitarbeit von Ferdinand Kramer und Erika Habermann), ein Altersheim am Dornbusch, wo auch eine Straße nach B. benannt wurde. Emma B. erhielt für ihre Verdienste um die Errichtung dieses Heims 1930 die Ehrenplakette der Stadt. Das Heim beherbergte zur Hälfte jüdische, zur Hälfte christliche alte Bürger. In der NS-Zeit wurden die jüdischen Bewohner aus dem Heim vertrieben und dessen Benennung nach dem Ehepaar B. getilgt (ab 1939 „Heim am Dornbusch“); der Bau wurde im Zweiten Weltkrieg stark beschädigt und musste geräumt werden. 1945 von der amerikanischen Besatzungsmacht beschlagnahmt und bis 1995 von der US-Armee als Zahnklinik genutzt, gehört das Gebäude heute zur privaten Seniorenwohnanlage „Grünhof im Park“. Die 1937 aufgelöste Henry und Emma B.-Stiftung wurde 1956 wiederbelebt und errichtete 1967 ein neues Henry und Emma B.-Heim für alte Menschen in Seckbach.