Aus einer alteingesessenen Ffter Familie. Seine Urgroßväter waren Georg Wilhelm H. (1808-1860), Jurist, Senator sowie 1850 und 1854 Jüngerer Bürgermeister der Stadt, und Heinrich Hoffmann (1809-1894), Arzt, Psychiater und Verfasser des weltberühmten Kinderbuchs „Der Struwwelpeter“. Ältester Sohn und zweites Kind des Rechtsanwalts und Notars Eduard Hermann H. (1871-1933) und dessen Ehefrau Agnes Marie Emma, geb. Kugler (1878-1970). Drei Geschwister: Maria Anna Auguste H. (1903-1974), Lehrerin; Else Agnes H. (1907-1993), Buchhändlerin; Kurt Friedrich Karl H. (1908-1994), Komponist. Die Schwestern blieben ledig. Maria H. reiste schon in jungen Jahren mehrfach nach Namibia. Sie arbeitete später als Lehrerin an der Deutschen Höheren Privatschule in Windhoek und wurde auch in Windhoek beerdigt. H.s Onkel zweiten Grades war der Mathematiker Gerhard Wilhelm H. (1874-1925). Verheiratet (seit 1944) mit Gertrud H., geb. Pflug (1908-2003). Zwei Töchter: Brigitte H. (später verh. Bossert, * 1946) und Renate H. (später verh. Krause, * 1949).
H. verbrachte seine Schulzeit auf dem Wöhler-Realgymnasium (1911-14) und auf dem Goethe-Gymnasium (1914-23) in Ffm., wo er seine Reifeprüfung an Ostern 1923 ablegte. Von April 1923 bis April 1925 war er als Praktikant bei der Firma „Hartmann & Braun AG“, einem Unternehmen für Mess- und Regeltechnik, in Ffm. tätig. Von Ostern 1924 bis Ostern 1925 war er zugleich für zwei Semester an der Ffter Universität immatrikuliert. Ab dem Sommersemester 1925 studierte er Elektrotechnik an der Technischen Hochschule in Darmstadt. Sein Studium schloss er im Januar 1931 mit dem Diplom ab. Am Institut für Praktische Mathematik (IPM) in Darmstadt arbeitete H. von Juni 1931 bis Januar 1932 als Hilfsassistent bei Alwin Oswald Walther (1898-1967). Als Ingenieur war er von Februar 1932 bis September 1936 bei der „Elektrizitätswerk Rheinhessen AG“ in Worms, seit Oktober 1936 in der Technischen Beratungsstelle der AEG in Berlin, später in Ffm. beschäftigt. In dieser Zeit publizierte er auch wissenschaftliche Aufsätze zur Elektrotechnik.
Bereits am 1.11.1932 war H. in die NSDAP eingetreten (Mitgliedsnummer 1.393.822); außerdem war er lt. seinen Angaben im Fragebogen zur „Parteistatistischen Erhebung“ vom 1.7.1939 u. a. Mitglied der SS, der Deutschen Arbeitsfront, der NS-Volkswohlfahrt und des NS-Bunds Deutscher Technik sowie Inhaber des SA-Sportabzeichens (Wehrsportabzeichen).
H. promovierte bei Alwin Walther an der TH in Darmstadt zum Doktor-Ingenieur. Seine Dissertation über „Die Berechnung der Eigenwerte und Eigenlösungen linearer Gleichungssysteme“ reichte er am 3.5.1940 ein (Rigorosum am 23.7.40, Promotion am 11.2.1942). Am 23.7.1940 veröffentlichte H. am Institut für Praktische Mathematik der TH Darmstadt den 1. Bericht der Reihe „Numerische Verfahren“ mit dem Titel „Behandlung linearer Eigenwertaufgaben mit Hilfe der Hamilton-Cayleyschen Gleichung“. In dieser Arbeit wird zum ersten Mal eine der später nach H. benannten „Hessenberg-Matrizen“ verwendet (Seite 23, Gleichung 58). Hessenberg-Matrix bezeichnet eine quadratische Matrix, die die Hessenberg-Form aufweist und insbesondere im mathematischen Teilgebiet der numerischen linearen Algebra betrachtet wird. Die Reduktion auf Hessenberg-Form gilt als ein wesentlicher Schritt im QR-Algorithmus.
Als Erfinder meldete H. zwischen 1936 und 1956 mehrere Patente an, davon sind 23 in Deutschland, USA und Kanada gelistet. In seiner Freizeit spielte er Cello, in Berlin in einem Orchester und in Ffm. in einer Kirchengemeinde. Er lebte zuletzt mit seiner Familie in der Schreyerstraße 3 in Ffm.-Sachsenhausen.
Aufsätze von H. zur Elektrotechnik: „Die Berechnung von Symmetriestörungen in Drehstromnetzen mit Hilfe von symmetrischen Komponenten und Ersatzschaltungen“ (in: Elektrotechnik und Maschinenbau, 1931), „Der Ausgleich unsymmetrischer Belastungen in Drehstromnetzen“ (in: Elektrotechnik und Maschinenbau, 1932), „Die Rückwirkung der Transkommandotastung auf Drehstromnetze“ (mit Viktor Aigner; in: Archiv für Elektrotechnik, 1939), „Erdpunktverlagerungen bei Transkommandotastung in Drehstromnetzen“ (mit Viktor Aigner; in: Archiv für Elektrotechnik, 1940).
Beerdigt in der Familiengrabstätte auf dem Ffter Hauptfriedhof (Gewann G an der Mauer 540).
Die Wiederentdeckung des Mathematikers Karl H. ist dem japanischen Wissenschaftler Seiji Fujino (* 1954) zu verdanken, der sich H.s Leben und Werk widmete und zwei Aufsätze veröffentlichte: „Auf den Spuren eines deutschen Wissenschaftlers – Dr. Karl Hessenberg, der von der Geschichtsschreibung der Numerik vergessen wurde“ (1995) und „Who was K. Hessenberg?“ (mit Erhard Heil, 1996).